確率理論から観てみるCOJその壱 先行ターンに初手カンナを引く確率は？

東雲信者ですが無害です。

個人的メモ用も兼ねて今回はこんな記事に。

現在アーケードで稼働中のCOJこと「コードオブジョーカー」。

僕も始めて一年経ってないけど結構楽しい。

もともと遊戯王やってたのもあって、デッキカードなしで手軽に対戦できるこのデジタルカードゲームにハマるのは当たり前だったかもしれないが。

今回はその中でも、

・先行にこのカードを引けば、ほぼ確実に1点を取れる。

・可愛い。

・強靭、無敵、あと可愛い。

「白夜刀のカンナ」を初手に引ける確率は？

というテーマで進めたいと思います。

計算間違ってたらごめんなさいね。

カンナ使わない人は、

2コストユニット、もしくは初手に引きたいカードって認識でもOKです。

※ただし3枚積みを前提とする。

前置き

・組合せ

一般的にある異なるｎ個の中から、ｒ個取り出して得られる組を

「ｎ個の異なるものからｒ個を取った組合せ」

という。

組み合わせの総数を記号を用い表すと n C r となる。

ここら辺は高校生1年生くらいの計算なのでご家庭にある関数電卓を使えばお手軽に求められると思います。

COJはデッキ枚数は40枚固定、初手は2015年6月時点で4枚スタートなので求める組み合わせの数は

40枚のカードから4枚引く、すなわち

40C4　＝ 91390

91390通りのカードの組合せの数が存在することになります。

その中からカンナを引く場合の数を求め、

カンナを引く組合せの数　÷　全通りである91390通り ×　100

　＝　初手カンナを引く確率(％)

になるわけですね。

カンナを引くのは

１・・・初手カンナ一枚のみ、それ以外のカード三枚

２・・・初手カンナ二枚のみ、それ以外のカード二枚

３・・・初手デッキのカンナ三枚すべてとそれ以外のカード一枚

が初手カンナの引く組合せになりますが正直これを計算するのは面倒なので、

初手カンナの組合せ　＝　すべての組合せ　－　初手カンナを引かない組合せ

を用いて求めます。(証明はおまけ参照)

初手にカンナ以外を引く組合せは、カンナ以外の37枚のカードから4枚引く組合せの数なので

37C4　＝　66045

すなわち66045通り。

ここから全部の組合せである91390通りを引くと

91390　－　66045　＝　25345

つまり初手カンナの確率は

25345　÷　91390　×　100　＝　27.733％

だいたい4回に1回の確率で初手にカンナを握れるわけですね。

ただしこの中には

「毘沙門毘沙門毘沙門カンナ」や「毘沙門毘沙門カンナジャッジメント」、さらに「カンナカンナカンナジャッジメント」のような手札も含まれているので注意。

カードの引き直し、すなわち「マリガン」を行って理想の初手を選ぶ必要があるわけですね。

今回はこの辺で、次回やるとしたら理想的初手を引く確率でも求めてみようかと思います。

それでは

ア　デ　ィ　オ　ス　！　！　！　(　指　パ　ッ　チ　ン)

おまけ

初手カンナの確率の証明

カードの組合せは前述１～３の他に、

カンナ以外を引く組合せの数・・・４

が存在し、１＋２＋３＋４＝全部の組合せの数が成立すればよい。

前述の組合せの数から

１・・・初手カンナ一枚のみ、それ以外のカード三枚を求める。

カンナ三枚から一枚を引き、それ以外のカードから三枚引く組合せの数は

3C1 ×　37C3 ＝　23310(通り)

である。

同様に２、３の組合せの数を求めると

２・・・　3C2 ×　37C2 ＝　1998(通り)

３・・・　3C3 ×　37C1 ＝　    37(通り)

よってカンナを引く組合せの数は

１＋２＋３ ＝　23310＋1998＋37＝25345

ここで

４・・・カンナを引かない組合せの数は66045通りなので

25345＋66045＝91390

これはすべての組合せの数に等しいので、前述の証明は成立するといえる。(Q.E.D)

おまけのおまけ

デッキ内に非進化2コストユニットが3種類3枚ずつ存在するとき、これらを初手に一枚だけ引く確率は(例カンナ・ソードダンサー・プリティベルなど)

9C1　×　31C3　＝　40455

40455 ÷　91390　×　100 ＝　44.27％

2コストユニット「風紀委員マコ」一枚　＋　「白夜刀のカンナ」一枚を引く確率

(指定した2種類のカードをそれぞれ一枚ずつ引く確率)

3C1　×　3C1　×　34C2　＝　5049

5049　÷　91390　×　100　＝　5.52％